吴国平:高考函数单调性类问题,难,但用上导数将事半功倍

来源:SOHU  [  作者:吴国平   ]  责编:李秀丽  |  侵权/违法举报

你所谓函数变形之后,已经彻底改变了函数本身了,你是将函数值令为0,然后变形移项,然后移到一边,另一边为0,再将0换成另一个函数,这个函数和原函数本就天壤之别了,所以解出的答案肯定不同!www.egvchb.cn防采集请勿采集本网。

因f(x)=√(x^2+1)-x=1/[√(x^2+1)+x] 令g(x)=√(x^2+1),h(x)=x 显然g(x)、h(x)都是增函数 则g(x)+h(x)也是增函数 以上采用复合函数单调性来证明。当然可以用定义法或导数法证明

从近几年高考数学试卷来看,导数及导数的应用成为高考的热点,尤其是用导数求函数的单调性有关的试题已经是高考数学的热点。利用这一性质可以证明不等式问题、在恒成立问题中求参数的范围、研究函数的极值与最值。

(1) f'(x)=2^xln2-2^(-x)ln2=(2^x-2^(-x))ln2 x>0时,f'(x)>0 所以f(x)=2^x+1/2^x在(0,+无穷)上是增函数

用导数的性质研究函数的单调性成为必考内容,这就要求学生既要对导数知识极其熟悉,还需要有丰富的应试技巧,从而获得高分。

函数的单调性:也叫函数的增减性,它一般强调的是在定义域或者定义域的子区间里面的增减性;函数的单调:函数单调一般是指单调函数,一般指的是对于整个定义域而言,函数具有单调性,而不是针对

我们在解决导数求函数的单调性有关的试题时候,常常需要对参数进行讨论,而如何讨论?讨论的依据是什么?这个问题是困扰考生的一大难题,也是大家需要解释清楚的问题。

函数的性质当然是“高考中的重点\",并且是重中之重!但也不会年年在大题中考查,也许你参加高考的那年,仅仅在一个选择题或填空题中考到。

涉及函数单调性的问题包括解不等式、求最值、比较大小、乃至解方程,这些都是近年高考数学的热点问题。若利用单调性定义求解,一般较为复杂,做此类题目时学生往往半途而废,失分率较高,但利用导数解决这类问题就变得比较简单,学生也易于接受。

对于自变量x的不同的取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数,而不是几个函数;分段函数的单调性的判断方法:分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可。

导数极大地方便了对函数单调性的研究和相关问题的解决,主要是基于这样几个性质:

求可导函数单调区间的一般步骤和方法:

1、确定函数f(x)的定义域;

2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

导数求函数的单调性有关的高考试题分析,讲解1:

已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).

(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;

(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,

∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.

令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,

∵ex>0,∴-x2+2>0,解得-√2<x<√2.

∴函数f(x)的单调递增区间是(-√2,√2).

(2)若函数f(x)在R上单调递减,

则f′(x)≤0对x∈R都成立,

即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.

∵ex>0,

∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.

∴Δ=(a-2)2+4a≤0,

即a2+4≤0,这是不可能的.

故不存在a使函数f(x)在R上单调递减.

f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

导数求函数的单调性有关的高考试题分析,讲解2:

已知函数f(x)=bx﹣axlnx(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线平y=(1﹣a)x行.

(1)若函数y=f(x)在[e,2e]上是减函数,求实数a的最小值;

(2)设g(x)=f(x)/lnx,若存在x1∈[e,e2],使g(x1)≤1/4成立,求实数a的取值范围.

考点分析:

利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.

题干分析:

(1)求出函数的导数,得到b﹣a=1﹣a,解出b,求出函数的解析式,问题转化为a≥1/(lnx+1)在[e,2e]上恒成立,根据函数的单调性求出a的范围即可;

(2)问题等价于x1∈[e,e2]时,有g(x)min≤1/4成立,通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可.

函数的单调性:

在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数.

f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数.

1.如果题目中告诉了函数在2113某个区间上是单调递增(5261递减)的,那么可以得4102到的结论是导函1653数在该区间上大于零(小于零)?还是大于等于零(小于等于零)?这个等号到底有没有?不必考虑等号,一般情况都成,最好写成大于等于零(小于等于零)不带等号2.如果一直一个函数,让我求它的单调区间,那么我是令导函数大于零(小于零),还是大于等于零(小于等于零)? 导函数大于零 在一个参考书上我看到上面说函数在某个区间上单调递增(递减)的冲要条件是其导函数大于等于零(小于等于零)恒成立,也就是这俩种情况中都带等号,但老师说第一种情况是带等号的,第二种情况不带等号,到底是怎样的?,单调递增 这概2113念有时有些模糊。 一种说法是5261 当 x<4102y时, f(x)< f(y)叫单调递增1653还有一种说法是 当 x<y时, f(x)<= f(y),叫单调递增。 而这时, f(x)<f(y)叫严格单调递增。 在一个参考书上我看到上面说函数在某个区间上单调递增(递减)的冲要条件是其导函数大于等于零(小于等于零)恒成立 用的是第二种定义。估计你的问题都是用的第一种定义。下面回答都假设用第一种定义。1. 这个等号有。 例如: f(x)=x^3, 单增, 但 f’(0)=02. 用 >= 或 > 都可以,但都有要注意的地方。用 “>=”要除掉 f’(x)=0 恒成立的区间用 “>” 要把 f’(x) =0 的孤立断点加上去, 如f(x)=x^3,单调区间是 (-无穷, 无穷), 而不应写成(-无穷,0)并(0, 无穷)。但要注意, 断点两边应是同增(减),才能这么做,1导函数好象表示坐标里的斜率所以在某一区间递增的话斜率应该>0反之则<0,平行于x轴则斜率为0,2给你一个函数你不知道它在哪一区间内是递增或者递减,所以你先应该假设分3种情况考虑我自己的理解哈,不要偏信,1.如果函数在某个区间上2113是单调递增(递减5261)的,那么f’(x)>0(f’(x)<0),不必考虑4102等号2.当f’(x0)=0时,有三种情况一是在x0点为极值1653:当f”(x0) >0,取极小值,当f”(x0) <0,取极大值,二是当x渐增通过x0时,f’(x)的符号不变,函数在此点为平台三是当x渐增通过x0时,f’(x)的符号发生改变,且f”(x0)=0,函数在此点为拐点,即函数的凹凸性发生改变3.求函数的单调区间,首先确定其定义域,再确定其极值情况,单调区间自然就出来了。4.对于f’(x0)=0的点,若是极值点可任意划到某个区间即可,若是平台,当然包含在相应区间,在此区间f’(x0)>=0或f’(x0)<=0,若是拐点,同极值处理内容来自www.egvchb.cn请勿采集。

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