高数下曲线积分与曲面积分

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考研高数上下册都要考。百针对考研的数学科目,根据各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求。硕士研究生入学统考数学试卷分为3种:其中针对工科类的为数学一、数学二;针对经济学和管理学类的为数学三。具体不同专业所使度用的试卷种类有具体规定。扩展资料:考研数学的复习计划:第一阶段复习之始,很有必要先把数学课本通看一遍,主要是对一些问重要的概念,公式的理解和记忆,当然有可能的话顺便做一些比答较简单的习题,效果显然要好一些。这些课后习题对于总结一些相关的解题技巧很有帮助,同时也有助于知识点的回忆和巩固。第二阶段善于总结,多多思考。总结是一个良好的复习方法,是使知识的掌握内水平上升一个层次的方法。在单独复习好每一个知识点的同时一定要联系总结,建立一个完整的考研数学的知识体系结构。第三阶段当然每一个阶段都不能少了做题,多见考研题型,多训练做题思路,容熟悉考研出题方式。数学考研题的重要特征之一就是综合性强、知识覆盖面广,一些稍有难度的试题一般比较灵活,对知识点串联的要求比较高,只有通过逐步的训练,不断积累解题经验,在考试时才更有机会较快找到突破口。参考资料来源:百度百科—考研数学www.egvchb.cn防采集请勿采集本网。

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数学专业考研的参考书选择 注:加【】的是我认为最好的!资料只是作为参考,学数学独立思考很重要!一、数学分析: 1、复旦大学的教材(欧阳光中等编,高教社) 【2】、数学分析中的典型问题与

第十一章 曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念1. 定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分n Lf (x,y)ds lim 0i 1

大学本科毕业就可以考基础,基础考几乎你大学全部所学的东西,比如高数、物理、有机/无机化学,电工,化工原理等等,这个可以参考天津大学出版社的《注册化工工程师执业资格考试基础考试复习教程

f (i ,i ) si .yA o

B L Mn1(i ,i ) Mi M2 M1 Mi1x 2.存在条件:

当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,

对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.3.推广

函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为n

f ( x, y, z)dslim 0i 1

f (i ,i , i ) si . 4.性质(1) L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. (2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).

(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.LL1L2(L L1 L2 ). 5、对弧长曲线积分的计算定理

设 f ( x, y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为 x y

( t ), ( t ),( t )其中 (t), (t)在[ , ]上具有一阶连续导数, 且

f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t)dtL( ) 注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 例1求IL xyds,L:椭圆 x y

a bcos t, sin t,(第象限). 解 I 2 a cos t b sin t (a sin t)2 (b cos t)2dt 0

ab 2 sin t cos t a2 sin2 t b2 cos2 tdt 0

ab a2 b2a u2dub(令u a2 sin2 t b2 cos2 t )

ab(a2 ab b2 ) . 3(a b) 例2 求I L yds,y2 4x其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段. 解I2y1 ( y)2dy 0.22

例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,z k的一段. (0 2) 解I2a2 cos sin ka2 k 2d0

1 ka2 a2 k2 . 2 例3 求I x2ds, 其中为圆周 x2 y2 z2 a2 , x y z 0.

解 由对称性, 知 x2ds y2ds z2ds.

故 I 1 ( x2 y2 z2 )ds 3

a2 ds 2a3 . (2a ds, 球面大圆周长)33 练习题

1、 e x2 y2 ds,其中 L为圆周 x 2 y 2 a 2 ,直线 y x L 及 x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界; 2、 x 2 yzds,其中 L为折线 ABCD,这里 A , B , C , D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2); 3、 ( x 2 y 2 )ds,其中 L为曲线 L

x a(cos t t sin t)

ya(sinttcost)(0 t 2 ); 练习题答案1、ea (2 a) 2; 42、9;3. 22a3 (1 22 ); 二、对坐标的曲线积分的概念1. 定义:

函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标 x 的曲线积分n LP( x,y)dxlim 0i 1P(i ,i)xin

类似地定义Q(Lx,y)dylim 0i 1Q(i,i)yi.其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段. 2.存在条件: 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.3.组合形式L P( x, y)dx LQ( x, y)dy

L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.其中 F Pi Qj ,

ds dxi dyj . 4.推广

空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.n

P( x,y, z)dxlim 0i 1P(i ,i,i)xi.n Q( x, y,z)dylim0i 1Q(i, i,i)yi.n

R(x,y,z)dzlim0i 1R(i, i,i)zi. 5.性质(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.(2) 设 L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy

即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 6、对坐标的曲线积分的计算定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为 xy

( t ), ( t ),

当参数t单调地由变

到时,点M ( x, y)从L的起点A沿L运动到终点B, (t), (t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连

续导数,且 2 (t) 2 (t) 0,则曲线积分L P( x, y)dx Q( x, y)dy存在, 且L P( x, y)dx Q( x, y)dy

{P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)}dt x (t)(3) 推广:

y(t),t起点 ,终点 .z (t)

Pdx Qdy Rdz {P[(t),(t),(t)](t)

Q[ (t), (t), (t)] (t)

R[ (t), (t), (t)] (t)}dt 例1 计算 xydx,其中L为抛物线 y2 x上从 LA(1,1)到B(1,1)的一段弧.

B(1,1)解 (1) 化为对x的定积分,y x.y2 x

xydx xydx xydxLAOOB01A(1,1)

1 x( x)dx 0 x xdx 213x 2dx 4.05 (2) 化为对y的定积分,x y2,y从 1到1.

xydx xydxLAB

1 y2 y( y2 )dy 1 2 1 y4dy 4 .15

B(1,1) y2 xA(1,1) 例2 计算 y2dx, 其中L为 L(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.解(1)L:x

y

a cos a sin,

从 0 变到 , 原式 a2 sin2 (asin )d 0

B(a,0)A(a,0) a3 (1 cos2 )d(cos ) 4 a3 .03(2) L : y 0,x 从 a 变到 a, 原式 a0dx 0.a

B(a,0)A(a,0)

问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但 路径不同积分结果不同. 例3 计算 2xydx x2dy,其中L为 L(1) 抛物线 y x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧;(2) 抛物线 x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3) 有向折线OAB,这里O, A, B依次是点(0,0)(1,0),(1,1).解 (1) 化为对 x 的积分.L : y x2 , x从0变到1, 原式 1(2xx2x22 x )dx0

4 1 x3dx 1. 0y x2

B(1,1)A(1,0) (2) 化为对 y 的积分. L : x y2 , y从 0 变到 1 , 原式 1 (2 y2 y 2 y y4 )dy 0 5 1 y4dx 1. 0(3) 原式 OA 2xydx x2dy AB 2 xydx x2dyx y2 B(1,1) A(1,0)

B(1,1)A(1,0) 在 OA 上, y 0, x从 0 变到 1 , 2xydx x2dy 1(2x0x20)dxOA0

B(1,1) 0.

在 AB 上, x 1, y 从 0 变到 1 ,A(1,0) 2xydx x2dy 1(2 y 0 1)dy 1.AB0 原式 0 1 1.

问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但 路径不同而积分结果相同. (4) 两类曲线积分之间的联系:

设有向平面曲线弧为L:

x y (t) ,(t)L上点( x, y)处的切线向量的方向角为, ,

则L Pdx Qdy L(P cos Q cos)ds其中cos (t),cos (t),2(t) 2(t)2(t) 2(t)

(可以推广到空间曲线上 ) 思考题

当曲线 L的参数方程与参数的变化范围给定 之后(例如L: x a cos t , y a sin t,t [0,2],a是正常数),试问如何表示L的方

向(如 L表示为顺时针方向、逆时针方向)? 思考题解答

曲线方向由参数的变化方向而定.

例如L:x a cos t ,y a sin t ,t [0,2 ]中

当t 从 0 变到2时,L取逆时针方向;

反之当t 从2变到 0 时,L取顺时针方向. 练习题:

1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按

逆时针方向绕行); 2、(x Ly)dx ( x x2 y2y)dy ,其中L为圆周x 2 y 2 a 2(按逆时针方向饶行);3、 dx dy ydz,其中为有向闭折线 ABCA,这里

的 A , B , C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1); 练习题答案1、 a3; 2、 2; 3、1 ;22 三、格林公式1、区域连通性的分类

设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.D D

单连通区域

复连通区域 2.格林公式定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线L 围成,

函数 P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连续偏

导数, 则有Q PD(xy)dxdyLPdxQdy(1)其中 L是 D的取正向的边界曲线,

公式(1)叫做格林公式. L1DL2L1DL2L由L1与L2连成L由L1与L2组成

边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边. 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系. y

例 1 计算 xdy,其中曲 AB

线 AB是半径为r 的圆在

第一象限部分.ADoLBx解 引入辅助曲线L, L OA AB BO

应用格林公式, P 0, Q x 有 dxdy L xdyD

OA xdy AB xdy BO xdy, 由于 OAxdy0,

BO xdy 0,

xdy dxdy 1 r2.AB D4 例2计算Lxdy x2

ydx y2,其中L

为一条无重点,

分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方

向为逆时针方向.解 记L所围成的闭区域为D ,令Py x2 y2,Qx2x y2,则当 x2 y2 0时,有Q x(y2 x2 x2 y2 )2 P .y y(1) 当(0, 0) D时,

由格林公式知Lxdy x2 ydx y20Do(2) 当(0,0) D时,L x

作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2, y L

记D1由L 和l 所围成,

应用格林公式,得l D1orx Lxdy x2

ydx y2lxdy x2

ydx y20Lxdy x2

ydx y2lxdy x2

ydx y2yLD1lorx2r 20cos2 r2r2sin2d 2 .( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)(注意格林公式的条件) 思考题y

若区域 如图为

复连通域,试描述格DCG

林公式中曲线积分中LE的方向。oAFBxD

Q xP ydxdy LPdxQdy 思考题解答L 由两部分组成 外边界:BCDAB 内边界:EGFEyDCGEFoABx 四、第二类曲线积分与路径无关的条件1.定义:如果在区域G内有y

Pdx Qdy L1

Pdx Qdy L2 L1 BGAL2ox

则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,

否则与路径有关. 2.曲线积分与路径无关的条件定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数,

则曲线积 分 Pdx Qdy 在G 内 与 路径 无 关 L

(或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零)的充

要条件是P Q 在G 内恒成立. y x 有关定理的说明:(1) 开区域G 是一个单连通域.(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连

续偏导数. 两条件缺一不可 定理3 设开区域G 是一 个单连 通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数, 则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在 G 内 为 某 一 函 数 u( x, y)的全微分的充要条件是等式P Q y x 在G 内恒成立. 若 P Qyy x

则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )

? A( x0 , y0 )o

x1 x0P(x,y0)dxQ y1 (y0x1,y)dy 或 y1Q(y0x0,y)dyx1 x0P(x,y1)dx

? B( x1, y1 )

? C( x1, y0 )x 例 1 计算 ( x2 2 xy)dx ( x2 y4 )dy . 其中 LL 为由点O(0, 0)到点B(1, 1) 的曲线弧y sin x .2解 P ( x2 2xy) 2xy y Q ( x2 y4 ) 2x

P Q , y xx x

原积分与路径无关 故原式1 x2dx 1(1 y4 )dy 23 .0015 例 2 设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无L

关, 其中 具有连续的导数, 且(0) 0,

计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),P ( xy2 ) 2xy, y yQ [ y( x)] y( x), x x

积分与路径无关 P Q , y x 由 y( x) 2 xy ( x) x2 c

由(0) 0,知c 0 ( x) x2 .

故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)

10dx 1 ydy 1 .002 四、小结

与路径无关的四个等价命题

条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.

等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关

价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D

命 (3) 在D内存在U( x, y)使du Pdx Qdy题 (4)

在D内, P Q y x 1. 计 算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其 中 L 是 由 抛 物 线 Ly x2和 y2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并验证 格林公式的正确性 .2、证明曲线积分(3,4) (6xy2 y 3 )dx (6x 2 y 3xy2 )dy在整个 xoy面 (1,2)

内与路径无关,并计算积分值 . 3、 ( x 2 y)dx ( x sin2 y)dy其中 L是在圆周 L y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧; 4、计算xdy L x2 ydx y2,其中L

为不经过原点的光滑闭曲

线 .(取逆时针方向)5、验证(3x2 y 8xy2 )dx ( x3 8x2 y 12 ye y )dy 在整

个 xoy平面内是某一函数u( x, y)的全微分,并求这

样一个u( x, y). 练习题答案2、236.3、 7 1 sin 2;.644、(1)当 L所包围的区域 D不包含原点时,0;

(2)当 L所包围的区域 D包含原点,且 L仅绕原点

一圈时, 2 ;

( 3 ) 当 L所包围 的 区域 D 包 含 原 点 ,

且 L绕原点n

圈时, 2n.5. u( x, y) x3 y 4x2 y2 12( ye y e y ). 五、对面积的曲面积分1.定义

函数 f ( x, y, z)在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分:n

f (x,y, z)dS lim0 i1

f (i ,i , i )Si其中 f ( x, y, z)叫被积函数, 叫积分曲面. 2.对面积的曲面积分的性质

若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则

f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.12 3、计算法(1) 若曲面 : z z(x, y)

则 f ( x, y, z)dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy; Dxy (2) 若曲面 : y y( x, z)

则 f ( x, y, z)dS

f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;Dxz 例1 计算 ( x y z)ds , 其中 为平面y z 5被柱面x2 y2 25所截得的部分.解 积分曲面 :z 5 y ,

投影域 : Dxy {( x, y) | x2 y2 25} dS 1 zx2 zy2dxdy 1 0 (1)2dxdy 2dxdy,

故 ( x y z)ds 2 ( x y 5 y)dxdy 2 (5 x)dxdyDxyDxy25 20 d0 (5 r cos )rdr 125 2. 例 2 计算 | xyz | dS , 其中 为抛物面 z x2 y2(0 z 1).z解 依对称性知:

抛物面z x2 y2 关于z轴对称,

被积函数| xyz |关于xoz、 yoz 坐标面对称y x

有 4 成立,(1为第一卦限部分曲面)1 dS 1 zx2 zy2dxdy

1 (2x)2 (2 y)2dxdy

原式 | xyz | dS 4 xyz dS1 4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy Dxy其中Dxy {( x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0} 利用极坐标 x r cos t , y r sin t , 42 dt1 r 2 cos t sin t r 21 4r 2rdr00 22 sin 2tdtr1 51 4r 2dr

令u 1 4r 200 1 541

u(u 1)2 du 125 5 1.4420 练习题

一、 填空题:1、 设 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 在 xoy 平面的上方部

分,则 ( x 2 y 2 z 2 )ds ____________; 2、 3zds _____,其 中 为 抛物 面 z 2 ( x 2 y 2 ) 在 xoy面上方的部分; 3、 ( x 2 y 2 )ds ______,其中 为锥面z x2 y2 及平面 z 1所围成的区域的整个边界曲面. 二、计算下列对面积的曲面积分:1、 (2xy 2x 2 x z)ds,其中 为平面 2x 2 y z 6在第一卦限中的部分;2、 ( xy yz zx)ds,其中 为锥面z x2 y2 被 柱面 x 2 y 2 2ax所截得的有限部分 . 练习题答案

一、1、 2a4 ;3、1 2 .2

二、1、 27; 42、111 ; 102、64 2a4. 15 六、对坐标的曲面积分1. 曲面的侧 (假设曲面是光滑的)

曲面分上侧和下侧

曲面分内侧和外侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧.

决定了侧的曲面称为有向曲面.

曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块

曲面 S, S在xoy面上的投影(S)xy为( )xy 当cos 0 时(S)xy ( )xy 当cos 0 时. 0

当cos 0 时其中( )xy 表示投影区域的面积. 2、概念及性质

定义:函数 R( x, y, z) 在有向曲面Σ上对坐标x, y 的曲面积分(也称第二类曲面积分):n

R( x, y, z)dxdy lim 0i 1R(i ,i , i )(Si )xy 类似可定义n

P(x,y,z)dydzlim0i 1P ( i,i,i)( Si)yzn

Q( x,y, z)dzdxlim0Q(i ,i , i )(Si )zxi 1 存在条件: 当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在有向光滑曲 面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.

组合形式:

P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy 性质:1. Pdydz Qdzdx Rdxdy 1 2

Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy122. P( x, y, z)dydz P( x, y, z)dydz

Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx

R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)dxdy 3、计算法

设积分曲面Σ是由

方程z z( x, y)所给z

出的曲面上侧,Σ在xoy面上的投影区域

为Dxy ,函数 z z( x, y)在Dxy 上具

有一阶连续偏导数,oDxy

被积函数R( x, y, z)在 x

Σ上连续.z f (x, y)y (s)xy n

R(x,y,z)dxdylim0i 1R( i,i,i)( Si)xy

取上侧, cos 0, (Si )xy ( )xy ,

又 i z(i ,i )n

lim0i 1R(i ,i , i )(Si )xyn

lim0i 1R( i,i,z ( i,i))( i) xy

即 R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdyDxy 若取下侧, cos 0, (Si )xy ( )xy,

R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdyDxy

如果由x x( y, z)给出, 则有

P( x, y, z)dydz P[x( y, z), y, z]dydzD yz

如果由 y y(z, x)给出, 则有

Q( x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdxDzx

注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. z

例 1 计算 xyzdxdy 其中Σ是球面2x2 y2 z2 1外侧y

在 x 0, y 0的部分. x 1 解

把分成1和两部分21 : z1 1 x2 y2 ;2 : z2 1 x2 y2 , xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy21

xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdyDxyDxy 2 xy 1 x2 y2dxdy Dxy 2 r 2 sin cos Dxy1 r 2rdrd 2 .15 练习题1、 zdxdy xdydz ydzdx,其中 是柱面 x 2 y 2 1 被平面 z 0及 z 3所截得的在第一卦限内的部分的前侧;2、 xzdxdy xydydz yzdzdx,其中 是平面 x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1所围成的空间区

域的整个边界曲面的外侧; 3、

e z dxdy,其中 为锥面 z x 2 y2 和 x2 y2z 1 , z 2所围立体整个表面的外侧 . 1、 3 ; 2

练习题答案2、1 ; 83、 2e 2 . 七、高 斯 公 式

设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,

函数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、 R( x, y, z)在 上具有

一阶连续偏导数, 则有公式

( P xQ y

R )dv zPdydzQdzdx

Rdxdy或(P xQ y

R )dv z

(P cos Q cos Rcos )dS 由两类曲面积分之间的关系知(P xQ y

R)dv z

(P cos Q cos Rcos )dS.Gauss公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. 例1 计算曲面积分

( x y)dxdy ( y z)xdydz其中Σ为柱面 x2 y2 1及平 面z 0, z 3所围成的空间闭 区域 的整个边界曲面的外侧.解 P ( y z)x, Q 0, xR x y,13zo1y P y z, Q 0, R 0,xyzz

原式 ( y z)dxdydz(利用柱面坐标得)

(r sin z)rdrddzx 9 . 213o1y 使用Guass公式时应注意: 1.P,Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件;3.Σ是取闭曲面的外侧. 例 2 计算曲面积分

( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为z

锥面 x2 y2 z2介于平面z 0及z h(h 0)h

之间的部分的下侧,cos ,cos ,cos

是Σ在( x, y, z)处oy

的法向量的方向余弦.x 解 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxyz

曲面不是封闭曲面, 为利用 高斯公式

补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h1取上侧, 1构成封闭曲面, 1围成空间区域 . 在上使用高斯公式 ,o Dxyyx ( x2 cos y2 cos z2 cos )dS1h 2 ( x y z)dv 2 dxdy(x x2 y2y z)dz,Dxy其中Dxy {( x, y) | x2 y2 h2 }.h dxdy(xx2 y2y)dz0,Dxy

( x2 cos y2 cos z2 cos )dS1

(h2 x2 y2 )dxdy 1 h4 .Dxy2 ( x2 cos y2 cos z2 cos )dS z2dS11

h2dxdy h4 .Dxy

故所求积分为

( x2 cos y2 cos z2 cos )dS1 h4 h4 2

1 h4 . 2 练习题

利用高斯公式计算曲面积分:

1、 x 3dydz y 3dzdx z 3dxdy,其中 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2外侧;2、 xdydz ydzdx zdxdy,其中 是界于z 0和 z 3之间的圆柱体 x 2 y 2 9的整个表面的外 侧;3、 xzdydz,其中 是上半球面 z R2 x 2 y 2 的上侧 . 练习题答案1、12 a5; 2、81; 3、 R4.54

考研数学从卷种上来看是分为数学一、数学二和数学三,从所考难度、考试范围及适用专业这几个方面,能很好的区分考研数学一、二、三,请同学一定要注意。就所考范围:数一与数三在题目类型的分布上是一致的,1-4、9-12、15-19属于高等数学的题目,5-6、13、20-21属于线性代数的题目,7-8、14、22-23属于概率论与数理统计的题目;而数学二不同,1-6、9-13、15-21均是高等数学的题目,7-8、14、22-23为线性代数的题目。也就是说数学一和数学三会考高等数学、线性代数、概率论与数理统计,数学二只考高等数学、线性代数。可以从上面的题型分布看出:1、线性代数数学一、二、三均考察线性代数这门学科,而且所占比例均为22%,从历年的考试大纲来看,数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大,唯一不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识,不过通过研究近五年的考试真题,我们发现对数一独有知识点的考察只在09、10年的试卷中出现过,其余年份考查的均是大纲中共同要求的知识点。所以根据以往的经验来看,今年的考研数学中数一、数二、数三线性代数部分的题目也不会有太大的差别!2、概率论与数理统计数学二不考察,数学一与数学三均占22%,从历年的考试大纲来看,数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识,但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的,比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件,但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件,广大的考研学子们都知道大纲中的“了解”与“掌握”是两个不同的概念,因此,建议广大考研党在复习概率这门学科的时候一定要对照历年的考试大纲,不要做无用功!3、高等数学数学一、二、三均考察,而且所占比重最大,数一、三的试卷中所占比例为56%,数二所占比例78%。由于考察的内容比较多,故我们只从大的方向上对数一、二、三做简单的区别。以同济六版教材为例,数一考察的范围是最广的,基本涵盖整个教材(除课本上标有*号的内容);数二不考察向量代数与空间解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及无穷级数;数三不考察向量空间与解析几何、三重积分、曲线积分、曲面积分以及所有与物理相关的应用。就难度而言:数学一和数学三不相上下,都不容易,数学二相对来说要简单就适用专业:数学一主要适用于理工学类,数学二适用于农、林、地、矿、油等专业,数学三适用于经济学及管理学类。综上所述:如果学的是自动化,是要数学一,数学一所考范围已经在上面的内容作了详细的阐述。数学一是这三类里面最难的一类,请不要忽视,加油!祝金榜题名!内容来自www.egvchb.cn请勿采集。

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