妙用恒等式解高考题

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(Ⅰ)基础知识详析高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右。其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,这一点值得强化。(一)直线的方程1.点斜式:;2.截距式:;3.两点式:;4.截距式:;5.一般式:,其中A、B不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线,有三种位置关系:平行(没有公共点);相交(有且只有一个公共点);重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交.设直线:=,直线:=,则的充要条件是=,且=;的充要条件是=-1.(三)线性规划问题1.线性规划问题涉及如下概念:⑴存在一定的限制条件,这些约束条件如果由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组来表示,称为线性约束条件.⑵都有一个目标要求,就是要求依赖于x、y的某个函数(称为目标函数)达到最大值或最小值.特殊地,若此函数是x、y的一次解析式,就称为线性目标函数.⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.⑷满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.⑸所有可行解组成的集合,叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解.2.线性规划问题有以下基本定理:⑴ 一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形.⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到.3.线性规划问题一般用图解法.(四)圆的有关问题1.圆的标准方程(r>0),称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b),半径为r.特别地,当圆心在原点(0,0),半径为r时,圆的方程为.2.圆的一般方程(>0)称为圆的一般方程,其圆心坐标为(,),半径为.当=0时,方程表示一个点(,);当时,方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:(θ为参数)(θ为参数)(五)椭圆及其标准方程椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|则这样的点不存在;若距离之和等于|则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程:(>>0),(>>0).3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果项的分母大于项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.(六)椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质:设椭圆方程为(>>0).⑴ 范围:-a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.⑵ 对称性:分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点:有四个(-a,0)、(a,0)(0,-b)、(0,b).线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.⑷ 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0越接近于1时,椭圆越扁;反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴ 定义:平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(e时,这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线:根据椭圆的对称性,(>>0)的准线有两条,它们的方程为.对于椭圆(>>0)的准线方程,只要把x换成y就可以了,即.3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设(-c,0),(c,0)分别为椭圆(>>0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为,.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=、两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.(七)椭圆的参数方程椭圆(>>0)的参数方程为(θ为参数).说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同:;⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.(八)双曲线及其标准方程双曲线的定义:平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|)的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a|这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|则动点的轨迹是两条射线;若2a>|则无轨迹.若时,动点的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若>时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程:和(a>0,b>0).这里,其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是:如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.(九)双曲线的简单几何性质1.双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率>1,离心率e越大,双曲线的开口越大.2.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式:其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于1的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0),与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中,a、b、c、e四个元素间有与的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.(十)抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线。2.抛物线的方程有四种类型:对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3.抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例(1)范围:x≥0;(2)对称轴:对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出;(3)顶点:O(0,0),注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心);(4)离心率:e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;(5)准线方程;(6)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px(p>O)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的倾斜角为α,则有①|AB|=x+x+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。(8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x+bx+c=0,当a≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。(十一)轨迹方程⑴ 曲线上的点的坐标都是这个方程的解;⑵ 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹).(十二)注意事项1.⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率k存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为x=a(a∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率k存在与否,要分别考虑.⑵ 直线的截距式是两点式的特例,a、b分别是直线在x轴、y轴上的截距,因为a≠0,b≠0,所以当直线平行于x轴、平行于y轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程,而应选择其它形式求解.⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式.⑷当直线或的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的运用,这样可以简化计算.2.⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在x轴上还是y轴上,还是两种都存在.⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行a、b、c、e间的互求,并能根据所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.⑷双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式:其中k是一个不为零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个和(a>0,b>0).这里,其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.⑹求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数p的值.同时,应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个.(Ⅱ)2004年高考数学解析几何综合题选1.(2004年全国卷文科Ⅰ(22))设双曲线C:相交于两个不同的点A、B.(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:(II)设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=..www.egvchb.cn防采集请勿采集本网。

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数学中的恒等式:[“勤劳×高科技=致富”] 荒谬式:以“游戏”为话题-《7+1=8》-学习与游戏的结合 一则新闻报道-《99+1=0》-合格产品99个,不合格产品1个,前功尽弃。文题通过这种荒谬的计算式,揭示了

  妙用相 关恒等式巧解高考题  恒等式 1  平行 四边形对 角线 的平 方和  解  由恒等式 1知 ,I a+b I +I口一b l  等于两条邻边平 方 和的两 倍.(人 教版 《必 修  = 2(I a I  +I b I ),所 以 max}I a+b I ,I  a  4》第 109页例 1)  — b I }≥I a I  +I b I。

还可以借用文中原话、妙用绰号等颇有吸引力的方法,以新奇取胜,以美妙夺人。三、层次分明,表现内在的逻辑性。小标题还应表现文章各个部分内在的逻辑关系,使这些相对独立的片断能互为依存,集中服务主题

,所 以,答案选 D.  证明  如图 1,不妨设A百 =a,AD =b,则  A C :口+6,  :口一b.由 I  I  :  ,I  赢 j  =  ,得  (a+b)  =I口I +2a·b+l b l ,  ①  评注  本题源 于教材 ,熟悉恒等 式 1,就  能 “秒 杀 ”.  变式  (2011年山东卷 )如 图 2,已知 动  直线 z与椭 圆 c:-V  +  =1交于 P(x,Y。

在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,

),  (口一 )  =I口l  一2a·b+l b l .  ②  ①② 两式相加 ,得  I a+b I  +I a—b I  =2(I a I  +j b I ),  Q(x:,y2)两不 同点 ,且 AOPQ的面积 s 唧 :  4  6, 其中 0为坐标原点.  D  C  (1)证明:  + ;

说明:在恒等变形时,巧用1(如将1 与tg45°,tgα·ctgα,sin2α+cos2α,lg10,a0(a≠0),x/x,x·1/x 互化 式子无意义三诀 分母不得为零,偶次方根为负,零负没有对数。注:开偶次方时,根号中式子

和  +  均为定值 ;

初中学习,要学会听课: 1、有准备的去听,也就是说听课前要先预习,找出不懂的知识、发现问题,带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐,也更听得进去,容易掌握;2、参与交流和互动,不要只是把

  (2)设线段 PQ的 中点 为  ,求 l OM I.  1 PQ I的最大值 ;

  (3)椭 圆 C上是否存 在三点 D,E,G,使得  图 1  Is 伽 =.s ∞。

= .s 唧 =  ?若 存 在 ,判 断  例 1 (2014年浙江卷 )记  max{ ,),}:fL , ≥Y,  Y ,  < Y,  min{  }:ftY'  Y,  x.  < Y.  设 a,b为 平 面 向 量 ,则 (  )  (A)min{l a+b l,l a—b l}  ‘  ≤ min{I a l,I b I}  (B)min{I a+b I,I a —b I}  ≥ r ain{l a I,l b I}   (C)max{l a+b I ,f口一b I }  ≤ l a l  +I b I  (D)max{I a +b I ,I a—b I l  ≥ l a I  +I b I  ADEG的形状 ;

若 不存在 ,请说 明理 由。

  ,  l   、 .  o j  :  图 2  解 (1)  十 ;

=3,y2 + 2:2(过程  略 ).  (2)由(1),知  I OPI +I oq I  =(  +y2 。

)+(  +  )  = (  +  )+(Y +y2) =3+2 =5.  由恒 等式 1,知  (2 I OM I)  +I PQ l  = 2(1 OP I  +l OQ l )=10.  又 2(2 I OM I)·I尸Q I≤ (2 J OM J) +  I PQ I  ,所 以 ,4 l OM I·l PQ I≤ 10,.·.I OM  1.I PQ I≤÷ 成立,综上可知 I OM 1.I PQ I  的最大值为÷.  边. AB上任.一点 P,恒 有P———矗—'·P———C—’≥ 尸 ———0—百 ·P——n -—C  .  则(  )  (A) /_ABC=90。

  (C)AB :AC  A  (B)Z.BAC=90。

  (D)AC = BC  A  (3)略.  评 注  由恒 等式 1,可 以巧妙 解答 问题  (2),避免 了繁琐的计算.  恒等式 2  将 上面 (1)(2)两式 相减 ,得  恒等式 :  口‘6=÷[(口+ ) 一(盯一 ) ].  该式称 为极 化 恒 等式.极 化恒 等 式 的几  何意义 :向量 的数 量 积 可 以表示 为 以这组 向  量为邻边的平行 四边形 的“和对 角线 ”与“差  M  C  图 3  D  C  图 4  解  如 图 4,取 BC的中点 D,连结 PD,  在 , APBC内使用极化恒 等式 ,得  赢 .  :  一  :  在 △PoBC内使用极 化恒等式 ,得  —— — — 十 ————+ ————  PoB ·PoC = Po  ———● '  — B  ,  对角线”平方差的寺.  如 图 1 9即有  A—B ·  = ÷[1 AC I 一l  因为恒有赢 .  ≥嵇 .  ,所以恒有  l   I≥I P0DI,即 P0D上A曰,由此易知4C=  BC.  ](平行四  矩形有如下一个经典恒等式 :  边形模 式 ).  图 1的 AABD中(  为 BD的中点 ),AC=  2AM,所以 A曰- A—D=I AM I 一÷I DB I ,  恒等式 3  P是矩 形 ABCD所 在平 面内任  意一点 ,则  l PA I  +I PC l  = l PB l  + I PD I .  证 明  如图 5,设 l AB I=口,l AD I=b.  即  .  =I AM l  一I BM I (三角形模式 )  例 2 (2012年浙 江卷 )如图 3,在 ZkABC  中 ,M是 c的中点 ,AM =3,BC=10,则  ·  A C :  .  解  因为  是 BC的 中点 ,l由极 化恒 等  式 ,得  A—B .  : I AM  I z一  l  c l  4  则  A(O,0),B(口,0),C(口,6),D(o,b).  设 平面 内任意一点 P(m,n),则  I PA I  +I PC I  = ,n + n  + (m —n)  + (  —b) ,  I船 I   +I PD j  = (m 一口)  +n +m +(n—b) 。

  所以 ,I PA l  +I PC I  =l PB I  +I PD l .  =9一寺x 100=一16·  评

把基础知识弄懂背2113牢固,包括必修四的三角函5261数的图像和性质,诱导公4102式,两角和与差的三角函数公式,1653还要加上必须五弦定理余弦定理,高考第一个大题三角函数综合题,难度不大,考察公式比较多,常见的是两角和与差的三角函数公式,正余弦定理,辅助角公式,二倍角公式,有时候会加上向量的数量积运算。建议你先背下来公式,然后做历年各地高考题或者你们本省模拟题中的三角函数题目,自己多做题目多体会总结规律,这样子效率高,基础的定义必须弄懂多见题型高考的综合题型比较多祝你成功加油本回答被网友采纳,把握好以下几点2113: 1.理解弧度制表示角的优点在于把角5261的集合与实数集一一对应起来4102,二是就可把三角函数看成以1653实数为自变量的函数. 2.要区别正角,负角,零角,锐角,钝角,区间角,象限角,终边相同角的概念. 3.在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要注意题设中角的范围,并对不同的象限分别求出相应的值.在应用诱导公式进行三角式的化简,求值时,应注意公式中符号的选取. 4.单位圆中的三角函数线,是三角函数的一种几何表示,用三角函数线的数值来代替三角函数值,比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多,因此,三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具. 5.要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的"标准式",进而可求得某些复合三角函数的最值,最小正周期,单调性等.对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性. 6.函数的单调性是在给定的区间上考虑的,只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小. 7.对于具有周期性的函数,在作图时只要先作它在一个周期中的图象,然后利用周期性就可作出整个函数的图象. 答案补充 8.对于等表达式,要会进行熟练的变形,并利用等三角公式进行化简.复习时要注意以下几点: 1.熟练掌握和,差,倍,半角的三角函数公式.复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧. ①常值代换,特别是"1"的代换,如:,,,等等. ②项的分拆与角的配凑. ③降次与升次. ④万能代换 另外,注意理解两角和,差,倍,半角公式中角的实质,可以把公式中的角看成一种整体形式,可以锦成其他变量或函数,这样可加大公式的应用范围和力度. 2.要会运用和差化积与积化和差公式.对三角函数和差式,要善于转化为积的形式,反之亦然,对于形如的式子,要引入辅助角并化成的形式,这里辅助角所在的象限由的符号决定,角的值由确定.对这种思想,务必强化训练,加深认识. 答案补充 3.归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧. ①三角函数化简时,在题设的要求下,首先应合理利用有关公式,还要尽量减少角的种数,尽量减少三角函数种数,尽量化同角,化同名等.其他思想还有:异次化同次,高次化低次,化弦或化切,化和差为乘积,化乘积为和差,特殊角三角函数与特殊值互化等. ②三角函数的求值问题,主要有两种类型.一关是给角求值问题;另一类是给值求角问题.它们都是通过恰当的变换,设法再与求值的三角函数式,特殊角的三角函数式,已知某值的三角函数式之间建立起联系.选用公式时应注意方向性,灵活性,以造成消项或约项的机会,简化问题.4.关于三角函数式的简单证明.三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种,证明方法灵活多样.一般规律是从化简入手,适当变换,化繁为简,不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定. 答案补充 ①不附加条件的三角恒等式证明:多用综合法,分析法,在特定的条件下,也可使用数学归纳法. ②附加条件的三角恒等式证明:关键在于恰当而适时地使用所附加的条件,也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系.常用的方法是代入法和消元法. 三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式,掌握等价转化的思想和变量代换的方法.证明的关键是:发现差异——观察等式两边角,函数,运算间的差异;寻找联系——选择恰当公式,找出差异间的联系;合理转化促进联系,创造性地应用基本公式. 而关于角的恒等式或条件恒等式的证明,一般来说,要证,先证明的同名三角函数值相等,即,再证明在三角函数的同一单调区间内,而后由函数的单调性得出.5. 在解有关三角形的问题中,锐角三角函数的定义,勾股定理,正弦定理,余弦定理是常用的工具.注意三角形面积公式,的妙用和三角形内角和的制约关系的作用. 6.求三角函数最值的常用方法是:配方法,判别式法,重要不等式法,变量代换法,三角函数的单调性和有界性等.其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值. 三角函数的概念,同角三角函数的基本关系及诱导公式,找个家教,恶补两天,可怜ViU99,采纳它吧内容来自www.egvchb.cn请勿采集。

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